Axomshiksha

সংখ্যা প্ৰণালী - নৱম শ্ৰেণী (গণিত)

Ankur Rajbongshi
• • 90 mins

অনুশীলনী @1.1@

1. শূন্যটো পৰিমেয় সংখ্যা হ’য়নে? ইয়াক @\frac{p}{q}@ আৰ্হিত (ইয়াত @p, q@ অখণ্ড সংখ্যা আৰু @q \ne 0@) প্ৰকাশ কৰিব পাৰিনে?

@\underline{\text{উত্তৰ}}:@

শূন্যক @\frac{0}{1}@ বুলিও লিখিব পাৰি।

ইয়াত, @p = 0,\; q = 1,\; q \ne 0@

@\therefore@, শূন্য এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

2. @3@ আৰু @4@ ৰ মাজত থকা ছটা পৰিমেয় সংখ্যা উলিওৱা।

@\underline{\text{সমাধান}}:@

@3 = \frac{3}{1}, \quad 4 = \frac{4}{1}@

এতিয়া, @\frac{3}{1} = \frac{3 \times 7}{1 \times 7} = \frac{21}{7}@ আৰু @\frac{4}{1} = \frac{4 \times 7}{1 \times 7} = \frac{28}{7}@

@3@ আৰু @4@ ৰ মাজৰ ছটা পৰিমেয় সংখ্যা হ’ল —

@\frac{22}{7},\; \frac{23}{7},\; \frac{24}{7},\; \frac{25}{7},\; \frac{26}{7},\; \frac{27}{7}@

3. @\frac{3}{5}@ আৰু @\frac{4}{5}@ ৰ মাজত থকা পাঁচটা পৰিমেয় সংখ্যা উলিওৱা।

@\underline{\text{সমাধান}}:@

@ \begin{align} \frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30} \\ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30} \end{align} @

@\therefore@ @\frac{3}{5}@ আৰু @\frac{4}{5}@ ৰ মাজৰ পাঁচটা পৰিমেয় সংখ্যা হ’ল — @\frac{19}{30},\; \frac{20}{30},\; \frac{21}{30},\; \frac{22}{30},\; \frac{23}{30}@

4. তলৰ উক্তিসমূহ সঁচা নে মিছা লিখা। উত্তৰসমূহৰ সমৰ্থনত যুক্তি উল্লেখ কৰিবা ।

(i) প্ৰতিটো স্বাভাৱিক সংখ্যাই এটা পূৰ্ণ সংখ্যা।

@\underline{\text{উত্তৰ}}:@ সঁচা

@\underline{\text{যুক্তি}}:@ @0@ আৰু স্ৱাভাৱিক সংখ্যাসমূহৰ সমষ্টিয়েই হ’ল পূৰ্ণ সংখ্যা। @\therefore@ প্ৰতিটো স্বাভাৱিক সংখ্যাই এটা পূৰ্ণ সংখ্যা।

(ii) প্ৰতিটো অখণ্ড সংখ্যাই এটা পূৰ্ণ সংখ্যা।

@\underline{\text{উত্তৰ}}:@ মিছা

@\underline{\text{যুক্তি}}:@ অখণ্ড সংখ্যাৰ ঋণাত্মক সংখ্যাসমূহ পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়।

(iii) প্ৰতিটো পৰিমেয় সংখ্যাই এটা পূৰ্ণ সংখ্যা।

@\underline{\text{উত্তৰ}}:@ মিছা

@\underline{\text{যুক্তি}}:@ পৰিমেয় সংখ্যাত ভগ্নাংশবোৰো অন্তৰ্ভুক্ত। কিন্তু পূৰ্ণ সংখ্যাত ভগ্নাংশ নাথাকে।

অনুশীলনী 1.2

1. তলৰ উক্তিসমূহ সত্য নে অসত্য উল্লেখ কৰা । তোমাৰ উত্তৰৰ যথাৰ্থতা প্ৰতিপন্ন কৰা।

(i) প্ৰতিটো অপৰিমেয় সংখ্যাই এটা বাস্তৱ সংখ্যা।

উত্তৰ: সত্য

যুক্তি: প্ৰতিটো অপৰিমেয় সংখ্যাকে সংখ্যাৰেখাত উপস্থাপন কৰিব পাৰি, সেয়ে প্ৰতিটো অপৰিমেয় সংখ্যাই একো একোটা বাস্তৱ সংখ্যা।

(ii) সংখ্যাৰেখাৰ প্ৰতিটো বিন্দুৱেই @\sqrt{m}@ আৰ্হিৰ, য’ত @m@ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা।

উত্তৰ: অসত্য

যুক্তি: সংখ্যাৰেখাৰ প্ৰতিটো বিন্দুক @\sqrt{m}@ আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি।
উদাহৰণস্বৰূপে, @\frac{1}{2},\; \frac{3}{4}@ এইবোৰ সংখ্যা @\sqrt{m}@ আৰ্হিত নহয়।

(iii) প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যাই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

উত্তৰ: অসত্য

যুক্তি: বাস্তৱ সংখ্যাত পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় দুয়ো ধৰণৰ সংখ্যা অন্তৰ্ভুক্ত থাকে।
উদাহৰণস্বৰূপে, @2, \; \frac{3}{5}@ এইবোৰ বাস্তৱ সংখ্যা হলেও অপৰিমেয় নহয়।

2. সকলো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গমূল অপৰিমেয় নে? যদি নহয়, তেনেহ’লে এটা সংখ্যাৰ উদাহৰণ দিয়া যাৰ বৰ্গমূল এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

উত্তৰ: নহয়, সকলো ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গমূল অপৰিমেয় নহয়। উদাহৰণস্বৰূপে, \( \sqrt{4} = 2 \) যিটো এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

3. সংখ্যাৰেখাত কিদৰে @\sqrt{5}@ ক সূচিত কৰিব পাৰি দেখুওৱা।

সমাধান:

অনুশীলনী 1.3

1. তলত দিয়া সংখ্যাবিলাকক দশমিক বিস্তৃতিত প্ৰকাশ কৰা আৰু প্ৰতিটোৰে দশমিক বিস্তৃতি কি ধৰণৰ উল্লেখ কৰা ।

@(i) \frac{36}{100}@ @(ii) \frac{1}{11}@ @(iii) 4\frac{1}{8}@ @(iv) \frac{3}{13}@ @(v) \frac{2}{11}@ @(vi) \frac{329}{400}@

(i) @\frac{36}{100}@

@\frac{36}{100} = 0.36@

উত্তৰ: পৰিসমাপ্ত

(ii) @\frac{1}{11}@

@\frac{1}{11} = 0.090909\ldots@

উত্তৰ: অবিৰত পুনৰাৱৰ্তিত

(iii) @4\frac{1}{8}@

@4\frac{1}{8} = 4 + \frac{1}{8} = 4.125@

উত্তৰ: পৰিসমাপ্ত

(iv) @\frac{3}{13}@

@\frac{3}{13} = 0.230769\ldots@

উত্তৰ: অবিৰত পুনৰাৱৰ্তিত

(v) @\frac{2}{11}@

@\frac{2}{11} = 0.181818\ldots@

উত্তৰ: অবিৰত পুনৰাৱৰ্তিত

(vi) @\frac{329}{400}@

@\frac{329}{400} = 0.8225@

উত্তৰ: পৰিসমাপ্ত

2. তোমালোকে জানা যে @\frac{1}{7} = \overline{0.142857}@। দীঘলীয়া হৰণ নকৰাকৈ @\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}@ ৰ দশমিক বিস্তৃতি কি হ’ব ধাৰণা কৰিব পাৰিবানে ? যদি পাৰিবা কেনেকৈ ? (ইংগিত: @\frac{1}{7}@ ৰ মান উলিয়াঁওতে পোৱা ভাগশেষবোৰ লক্ষ্য কৰা ।)

@\underline{\text{সমাধান:}}@

@ \begin{align*} \frac{2}{7} = 2 \times \frac{1}{7} = 2 \times 0.142857 = 0.285714 \\ \frac{3}{7} = 3 \times \frac{1}{7} = 3 \times 0.142857 = 0.428571 \\ \frac{4}{7} = 4 \times \frac{1}{7} = 4 \times 0.142857 = 0.571428 \\ \frac{5}{7} = 5 \times \frac{1}{7} = 5 \times 0.142857 = 0.714285 \\ \frac{6}{7} = 6 \times \frac{1}{7} = 6 \times 0.142857 = 0.857142 \end{align*} @

এই সকলো দশমিক বিস্তৃতিত 142857 সংখ্যাৰ পুনৰাবৃত্তি দেখা যায়।

3. তলত দিয়াবিলাক @\frac{p}{q}@ আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰা, য’ত @p@ আৰু @q@ অখণ্ড সংখ্যা আৰু @q \ne 0@

@(i)0.\bar{6}@ @(i)0.4\bar{7}@ @(i)0.\overline{001}@ @(i)0.\overline{54}@ @(i)0.5\bar{9}@ @(i)0.3\overline{45}@ @(i)32.12\overline{35}@ @(i)0.3\bar{7}@

@(i) 0.\bar{6}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

ধৰা হ’ল,
@x = 0.6666\ldots@
@\therefore 10x = 6.6666\ldots@

@ \begin{align} & \text{এতিয়া,} \; 10x - x = 6.6666\ldots - 0.6666\ldots \\ & \Rightarrow 9x = 6 \\ & \Rightarrow x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \end{align} @

@(ii) 0.4\bar{7}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

ধৰা হ’ল,
@x = 0.4777\ldots@
@\therefore 10x = 4.777\ldots@

@ \begin{align} & \text{এতিয়া,} \; 10x - x = 4.777\ldots - 0.4777\ldots \\ & \Rightarrow 9x = 4.3 \\ & \Rightarrow x = \frac{4.3}{9} = \frac{43}{90} \end{align} @

@(iii) 0.\overline{001}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

ধৰা হ’ল,
@x = 0.001001001\ldots@
@\therefore 1000x = 1.001001001\ldots@

@ \begin{align} & \text{এতিয়া,} \; 1000x - x = 1.001\ldots - 0.001\ldots \\ & \Rightarrow 999x = 1 \\ & \Rightarrow x = \frac{1}{999} \end{align} @

@(iv) 0.\overline{54}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

ধৰা হ’ল,
@x = 0.545454\ldots@
@\therefore 100x = 54.545454\ldots@

@ \begin{align} & \text{এতিয়া,} \; 100x - x = 54.545454\ldots - 0.545454\ldots \\ & \Rightarrow 99x = 54 \\ & \Rightarrow x = \frac{54}{99} = \frac{6}{11} \end{align} @

@(v) 0.5\bar{9}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

ধৰা হ’ল,
@x = 0.5999\ldots@
@\therefore 10x = 5.999\ldots@ আৰু @100x = 59.999\ldots@

@ \begin{align} & \text{এতিয়া,} \; 100x - 10x = 59.999\ldots - 5.999\ldots \\ & \Rightarrow 90x = 54 \\ & \Rightarrow x = \frac{54}{90} = \frac{6}{10} \end{align} @

@(vi) 0.3\overline{45}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

ধৰা হ’ল,
@x = 0.3454545\ldots@
@\therefore 10x = 3.454545\ldots@
@1000x = 345.4545\ldots@

@ \begin{align} & \text{এতিয়া,} \; 1000x - 10x = 345.4545\ldots - 3.454545\ldots \\ & \Rightarrow 990x = 342 \\ & \Rightarrow x = \frac{342}{990} = \frac{69}{200} \end{align} @

@(vii) 32.12\overline{35}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

ধৰা হ’ল,
@x = 32.12353535\ldots@
@\therefore 100x = 3212.353535\ldots@
@10000x = 321235.353535\ldots@

@ \begin{align} & \text{এতিয়া,} \; 10000x - 100x = 321235.353535\ldots - 3212.353535\ldots \\ & \Rightarrow 9900x = 321235 \\ & \Rightarrow x = \frac{321235}{9900} \end{align} @

@(viii) 0.3\bar{7}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

ধৰা হ’ল,
@x = 0.3777\ldots@
@\therefore 10x = 3.777\ldots@

@ \begin{align} & \text{এতিয়া,} \; 10x - x = 3.7\ldots - 0.3\ldots \\ & \Rightarrow 9x = 3.7 \\ & \Rightarrow x = \frac{3.7}{9} \end{align} @

4. @0.99999\ldots@ ক @\frac{p}{q}@ আৰ্হিত প্ৰকাশ কৰা । তোমাৰ উত্তৰ দেখি আচৰিত হৈছা নেকি? তোমাৰ শিক্ষক আৰু সহপাঠীসকলৰ লগত এই উত্তৰ কিয় অৰ্থবহ আলোচনা কৰা ।

@\underline{\text{সমাধান:}}@

ধৰা হ’ল,

@x = 0.99999\ldots@
@10x = 9.9999\ldots@

এতিয়া,
@ \begin{align} & \text{এতিয়া,} \; 10x - x = 9.9999\ldots - 0.9999\ldots \\ & \Rightarrow 9x = 9 \\ & \Rightarrow x = 1 \end{align} @

যিহেতু, @0.9999\ldots \approx 1@ সেয়ে, @x = 1@ পোৱাতো স্ৱাভাৱিক ।

5. @\frac{1}{17}@ ৰ দশমিক বিস্তৃতিৰ পুনৰাৱৰ্তিত গোটটোত আটাইতকৈ বেছি কিমানটা অংক থাকিব? হৰণ পদ্ধতি অৱলম্বণ কৰি উত্তৰৰ সত্যতা প্ৰমাণ কৰা।

@\underline{\text{সমাধান:}}@

@@ \begin{array}{r|l} & 0.0588235294117647\ldots \\ \hline 17 & 1.00 \\ & \phantom{1.}85 \\ \hline & \phantom{1.}150 \\ & \phantom{1.}136 \\ \hline & \phantom{1.0}140 \\ & \phantom{1.0}136 \\ \hline & \phantom{1.000}40 \\ & \phantom{1.000}34 \\ \hline & \phantom{1.0000}60 \\ & \phantom{1.0000}51 \\ \hline & \phantom{1.00000}90 \\ & \phantom{1.00000}85 \\ \hline & \phantom{1.000000}50 \\ & \phantom{1.000000}34 \\ \hline & \phantom{1.000000}160 \\ & \phantom{1.000000}153 \\ \hline & \phantom{1.00000000}70 \\ & \phantom{1.00000000}68 \\ \hline & \phantom{1.000000000}20 \\ & \phantom{1.000000000}17 \\ \hline & \phantom{1.0000000000}30 \\ & \phantom{1.0000000000}17 \\ \hline & \phantom{1.0000000000}130 \\ & \phantom{1.0000000000}119 \\ \hline & \phantom{1.00000000000}11 \end{array} @@

6. যদি @p@ আৰু @q@ অখণ্ড সংখ্যা যাৰ @1@ ৰ বাহিৰে সাধাৰণ উৎপাদক নাই, তেনেহ’লে @\frac{p}{q} (q \ne 0)@ আৰ্হিত থকা বিভিন্ন পৰিমেয় সংখ্যা লোৱা যিবিলাকৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত আৰু পৰ্যবেক্ষণ কৰা । @q@ য়ে কি ধৰ্ম সিদ্ধ কৰিব অনুমান কৰিব পাৰিবানে ?

@\underline{\text{উত্তৰ:}}@

@(i) \frac{1}{2}@ @(ii) \frac{2}{5}@ @(iii) \frac{3}{10}@ @(iv) \frac{5}{4}@

ইয়াত, হৰ অৰ্থাৎ @q = 2^m \times 5^n@ আৰ্হিৰ; য’ত @m@ আৰু @n@ পূৰ্ণ সংখ্যা, সেইবাবে এইবোৰ পৰিমেয় সংখ্যাৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত।

7. তিনিটা সংখ্যা লিখা যাৰ দশমিক বিস্তৃতি অবিৰত আৰু অপুনৰাৱৰ্তিত (অপৰিসমাপ্ত আৰু অপৌন:পুনিক)।

@\underline{\text{উত্তৰ:}} \; \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}@

8. @\frac{5}{7} \text{আৰু} \frac{9}{11}@ ৰ মাজত থকা তিনিটা ভিন্ন অপৰিমেয় সংখ্যা উলিওৱা।

@\underline{\text{সমাধান:}}@

@ \begin{align} & \frac{5}{7} = 0.714285714285\ldots = 0.\overline{714285} \\ & \frac{9}{11} = 0.818181\ldots = 0.\overline{81} \end{align} @

এতিয়া, @\frac{5}{7}@ আৰু @\frac{9}{11}@ ৰ মাজত থকা তিনিটা ভিন্ন অপৰিমেয় সংখ্যা হ’ল-
@0.720722072220\ldots, 0.730733073330\ldots 0.740744074440\ldots@

9. তলৰ সংখ্যাকেইটাক পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় সংখ্যা হিচাপে শ্ৰেণী বিভক্ত কৰা ।

@(i) \sqrt{23}@ @(ii) \sqrt{225}@ @(iii) 0.3796@ @(iv) 7.478478\ldots@ @(v) 1.101001000100001\ldots@

@\underline{\text{উত্তৰ:}}@

পৰিমেয় সংখ্যাঅপৰিমেয় সংখ্যা
@\sqrt{225}@@\sqrt{23}@
@0.3796@@1.101001000100001\ldots@
@7.478478\ldots@—

অনুশীলনী 1.4

1. ক্ৰমাগত পৰিৱৰ্ধনৰ সহায়ত @3.765@ সংখ্যাটো সংখ্যাৰেখাত প্ৰদৰ্শন কৰা ।

@\underline{\text{সমাধান:}}@

2. @4.2\bar{6}@ সংখ্যাটো চতুৰ্থ দশমিক স্থানলৈ সংখ্যাৰেখাত দেখুওৱা।

সমাধান:

অনুশীলনী 1.5

1. তলৰ সংখ্যাবোৰ পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় হিচাপে শ্ৰেণীভুক্ত কৰা।

@(i) 2 - \sqrt{5}@ @(ii) (3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23}@ @(iii) \frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}@ @(iv) \frac{1}{\sqrt{2}}@ @(v) 2\pi@

@\underline{\text{উত্তৰ:}}@

পৰিমেয়অপৰিমেয়
@3 + (\sqrt{23} - \sqrt{23})@@2 - \sqrt{5}@
@\frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}}@@\frac{1}{\sqrt{2}}@
—@2\pi@

2. তলৰ প্ৰতিটো ৰাশি সৰল কৰা ।

@(i) (3 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{2})@ @(ii) (3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})@ @(iii) (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2@ @(iv) (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})@ @(v) (3\sqrt{5} - 4\sqrt{3})^2@ @(vi) (\sqrt{7} - 6)(\sqrt{3} + \sqrt{7})@ @(vii) (2 + \sqrt{6})(4 + \sqrt{6})@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

@ \begin{align*} (i) \; & (3 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{2}) \\ & = \; 3(2 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}(2 + \sqrt{2}) \\ & = \; 6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{6} \end{align*} @
@ \begin{align*} (ii) \; & (3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3}) \\ & = \; 3^2 - (\sqrt{3})^2 \\ & = \; 9 - 3 \\ & = \; 6 \end{align*} @
@ \begin{align*} (iii) \; & (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \\ & = \; (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 \\ & = \; 5 + 2\sqrt{10} + 2 \\ & = \; 7 + 2\sqrt{10} \end{align*} @
@ \begin{align*} (iv) \; & (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \\ & = \; (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 \\ & = \; 5 - 2 \\ & = \; 3 \end{align*} @
@ \begin{align*} (v) \; & (3\sqrt{5} - 4\sqrt{3})^2 \\ & = \; (3\sqrt{5})^2 - 2(3\sqrt{5})(4\sqrt{3}) + (4\sqrt{3})^2 \\ & = \; 9 \times 5 - 24\sqrt{15} + 16 \times 3 \\ & = \; 45 - 24\sqrt{15} + 48 \\ & = \; 93 - 24\sqrt{15} \end{align*} @
@ \begin{align*} (vi) \; & (\sqrt{7} - 6)(\sqrt{3} + \sqrt{7}) \\ & = \; \sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{7}) - 6(\sqrt{3} + \sqrt{7}) \\ & = \; \sqrt{21} + 7 - 6\sqrt{3} - 6\sqrt{7} \end{align*} @
@ \begin{align*} (vii) \; & (2 + \sqrt{6})(4 + \sqrt{6}) \\ & = \; 2(4 + \sqrt{6}) + \sqrt{6}(4 + \sqrt{6}) \\ & = \; 8 + 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 6 \\ & = \; 14 + 6\sqrt{6} \end{align*} @
@ \begin{align*} (viii) \; & (\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 \\ & = \; (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{7}) + (\sqrt{7})^2 \\ & = \; 3 + 2\sqrt{21} + 7 \\ & = \; 10 + 2\sqrt{21} \end{align*} @

3. মনত পেলোৱা যে @\pi@ ৰ সংজ্ঞা দিওঁতে ইয়াক এটা বৃত্তৰ পৰিধি (ধৰা @c@) আৰু সেই বৃত্তৰ ব্যাস (ধৰা @d@) ৰ অনুপাত বুলি কোৱা হৈছিল । অৰ্থাৎ @\pi = \frac{c}{d}@। দেখা গৈছে যে, এই কথাই @\pi@ যে অপৰিমেয় সেই তথ্যৰ বিৰোধিতা কৰিছে । এই বিৰোধিতা কিদৰে মীমাংসা কৰিবা ?

@\underline{\text{উত্তৰ:}}@

@\pi@ ক এটা বৃত্তৰ পৰিধি @c@ আৰু ব্যাস @d@ ৰ অনুপাত হিচাপে প্ৰকাশ কৰা হয়। অৰ্থাৎ, @\pi = \frac{c}{d}@।

প্ৰথম দৃষ্টিত, এই কথাটোৱে @\pi@ যে এটা অপৰিমেয় সংখ্যা, সেই তথ্যৰ বিৰোধিতা কৰা যেন লাগিব পাৰে । কিন্তু, এই বিৰোধিতাটোৱে এটা ভুল ধাৰণাৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি গঢ় লৈছে। সেইটো হৈছে যে, আমি @\frac{c}{d}@ ৰ মানটো আনুমাণিক দশমিক স্থানলৈকেহে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰোঁ, কাৰণ, স্কেল বা আন কোনো যন্ত্ৰৰ দ্বাৰা @c@ বা @d@ ৰ সঠিক মানটো নিৰ্ণয় কৰিব নোৱাৰি। কিন্তু, @\frac{c}{d}@ ৰ সঠিক মানটো এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।

4. সংখ্যা ৰেখাৰ ওপৰত @\sqrt{9.3}@ ক স্থাপন কৰা ।

@\underline{\text{উত্তৰ:}}@

5. তলৰ ৰাশিৰ হৰবিলাক পৰিমেয় কৰা ।

@(i) \frac{1}{\sqrt{7}}@ @(ii) \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}}@ @(iii) \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}@ @(iv) \frac{1}{\sqrt{7} - 2}@ @(v) \frac{13}{\sqrt{5}}@ @(vi) \frac{6 + \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5}}@ @(vii) \frac{5 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{6}}@ @(viii) \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}@ @(ix) \frac{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}}{\sqrt{a + x} + \sqrt{a - x}}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

@ \begin{align} (i) \; & \frac{1}{\sqrt{7}} \\ & = \frac{1 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} \\ & = \frac{\sqrt{7}}{7} \end{align} @
@ \begin{align} (ii) \; & \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} \\ & = \frac{1 \times (\sqrt{7} - \sqrt{6})}{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6})} \\ & = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{7 - 6} \\ & = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{1} \\ & = \sqrt{7} - \sqrt{6} \end{align} @
@ \begin{align} (iii) \; & \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \\ & = \frac{1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} \\ & = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5 - 2} \\ & = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} \end{align} @
@ \begin{align} (iv) \; & \frac{1}{\sqrt{7} - 2} \\ & = \frac{1 \times (\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} \\ & = \frac{\sqrt{7} + 2}{7 - 4} \\ & = \frac{\sqrt{7} + 2}{3} \end{align} @
@ \begin{align} (v) \; & \frac{13}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{13 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} \\ & = \frac{13\sqrt{5}}{5} \end{align} @
@ \begin{align} (vi) \; & \frac{6 + \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5}} \\ & = \frac{(6 + \sqrt{5})(6 + \sqrt{5})}{(6 - \sqrt{5})(6 + \sqrt{5})} \\ & = \frac{(6 + \sqrt{5})^2}{36 - 5} \\ & = \frac{36 + 12\sqrt{5} + 5}{31} \\ & = \frac{41 + 12\sqrt{5}}{31} \end{align} @
@ \begin{align} (vii) \; & \frac{5 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{6}} \\ & = \frac{(5 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{6})}{(3 + \sqrt{6})(3 - \sqrt{6})} \\ & = \frac{15 - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{3} - \sqrt{18}}{9 - 6} \\ & = \frac{15 - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{3} \end{align} @
@ \begin{align} (viii) \; & \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} \\ & = \frac{(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})} \\ & = \frac{6\sqrt{6} - 12 - 18 + 6\sqrt{6}}{18 - 12} \\ & = \frac{12\sqrt{6} - 30}{6} \\ & = 2\sqrt{6} - 5 \end{align} @
@ \begin{align} (ix) \; & \frac{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}}{\sqrt{a + x} + \sqrt{a - x}} \\ & = \frac{(\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x})^2}{(a + x) - (a - x)} \\ & = \frac{a + x + a - x - 2\sqrt{(a + x)(a - x)}}{2x} \\ & = \frac{2a - 2\sqrt{a^2 - x^2}}{2x} \\ & = \frac{a - \sqrt{a^2 - x^2}}{x} \end{align} @

6. (i) যদি @x = 1 + \sqrt{2}@ তেন্তে দেখুওৱা যে @(x - \frac{1}{x})^3 = 8@

দিয়া আছে, @x = 1 + \sqrt{2}@

@ \begin{align} \text{এতিয়া,} \; & (x - \frac{1}{x})^3 \\ = & \; (\frac{x^2 - 1}{x})^3 \\ = & \; \left(\frac{(1 + \sqrt{2})^2 - 1}{1 + \sqrt{2}}\right)^3 \\ = & \; \left(\frac{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 1}{1 + \sqrt{2}}\right)^3 \\ = & \; \left(\frac{2 + 2\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}\right)^3 \\ = & \; \left(\frac{2 \times \cancel{(1 + \sqrt{2})}}{\cancel{1 + \sqrt{2}}}\right)^3 \\ = & \; 2^3 \\ = & \; 8 \end{align} @

(ii) সৰল কৰা : @\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

@ \begin{align} & \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} \\ = & \; \frac{1 \times (1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} + \frac{1 \times (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} + \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{4})}{(\sqrt{3} + \sqrt{4})(\sqrt{3} - \sqrt{4})} \\ = & \; \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{3 - 4} \\ = & \; \frac{1 - \sqrt{2}}{-1} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{-1} \\ = & \; -1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{4} \\ = & \; -1 + \sqrt{4} \\ = & \; -1 + 2 \\ = & \; 1 \end{align} @

(iii) @1.2\bar{7}@ আৰু @0.1\bar{3}@ পৰিমেয় সংখ্যা দুটা যোগ কৰা ।

@\underline{\text{সমাধান:}}@

@ \begin{align} & \; 1.2\bar{7} + 0.1\bar{3} \\ = & \; 1.277777\ldots + 0.133333\ldots \\ = & \; 1.41111\ldots \\ = & \; 1.4\bar{1} \end{align} @

অনুশীলনী 1.6

1. মান উলিওৱা :

@(i) 64^{\frac{1}{2}}@ @(ii) 32^{\frac{1}{5}}@ @(iii) 125^{\frac{1}{3}}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

@ \begin{align} (i) \; & 64^{\frac{1}{2}} \\ = & \; (2^6)^{\frac{1}{2}} \\ = & \; 2^{6 \times \frac{1}{2}} \\ = & \; 2^3 \\ = & \; 8 \end{align} @ @ \begin{align} (ii) \; & 32^\frac{1}{5} \\ = & \; (2^5)^\frac{1}{5} \\ = & \; 2^{5 \times \frac{1}{5}} \\ = & \; 2^1 \\ = & \; 2 \end{align} @ @ \begin{align} (iii) \; & 125^\frac{1}{3} \\ = & \; (5^3)^\frac{1}{3} \\ = & \; 5^{3 \times \frac{1}{3}} \\ = & \; 5^1 \\ = & \; 5 \end{align} @

2. মান উলিওৱা :

@(i) 9^{\frac{3}{2}}@ @(ii) 32^{\frac{2}{5}}@ @(iii) 16^{\frac{3}{4}}@ @(iv) 125^{\frac{-1}{3}}@

@ \underline{\text{সমাধান:}} @

@ \begin{align} (i) \; & 9^\frac{3}{2} \\ = & \; (3^2)^\frac{3}{2} \\ = & \; 3^{2 \times \frac{3}{2}} \\ = & \; 3^3 \\ = & \; 27 \end{align} @ @ \begin{align} (ii) \; & 32^\frac{2}{5} \\ = & \; (2^5)^\frac{2}{5} \\ = & \; 2^{5 \times \frac{2}{5}} \\ = & \; 2^2 \\ = & \; 4 \end{align} @ @ \begin{align} (iii) \; & 16^\frac{3}{4} \\ = & \; (2^4)^\frac{3}{4} \\ = & \; 2^{4 \times \frac{3}{4}} \\ = & \; 2^3 \\ = & \; 8 \end{align} @ @ \begin{align} (iv) \; & 125^\frac{-1}{3} \\ = & \; (5^3)^\frac{-1}{3} \\ = & \; 5^{3 \times \frac{-1}{3}} \\ = & \; 5^{-1} \\ = & \; \frac{1}{5} \end{align} @

3. সৰল কৰা :

@(i) 2^{\frac{2}{3}}.2^{\frac{1}{5}}@ @(ii) \left(\frac{1}{3^3}\right)^7@ @(iii) \frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}@ @(iv) 7^{\frac{1}{2}}.8^{\frac{1}{2}}@

@\underline{\text{সমাধান:}}@

@\begin{align} (i) \; & 2^\frac{2}{3}.2^\frac{1}{5} \\ = & \; 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{5}} \\ = & \; 2^{\frac{10 + 3}{15}} \\ = & \; 2^\frac{13}{15} \end{align}@ @ \begin{align} (ii) \; & \left(\frac{1}{3^3}\right)^7 \\ = & \; \left(\frac{1}{27}\right)^7 \\ = & \; \frac{1^7}{27^7} \\ = & \; \frac{1}{27^7} \end{align} @ @ \begin{align} (iii) \; & \frac{11^\frac{1}{2}}{11^\frac{1}{4}} \\ = & \; 11^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \\ = & \; 11^{\frac{2 - 1}{4}} \\ = & \; 11^\frac{1}{4} \end{align} @ @ \begin{align} (iv) \; & 7^\frac{1}{2}.8^\frac{1}{2} \\ = & \; (7 \times 8)^\frac{1}{2} \\ = & \; 56^\frac{1}{2} \end{align} @

Share this post:

Twitter Facebook LinkedIn Reddit