পুনৰালোচনা - নৱম শ্ৰেণী (গণিত)

Ankur Rajbongshi

• Feb 2, 2026 • 120 mins

অনুশীলনী R-1:

1. বৰ্গমূলৰ দ্ৱাৰা @\sqrt{2}@ ৰ আনুমানিক মান দুই দশমিক স্থানলৈ উলিওৱা।

@\underline{Solution}:@

আমি জানো @1^2 = 1@ আৰু @2^2 = 4@ গতিকে, @\sqrt{2}@, @1@ আৰু @2@ ৰ মাজত থাকিব।

@1.4^2 = 1.96@; @1.5^2 = 2.25@ গতিকে, @\sqrt{2}@, @1.4@ আৰু @1.5@ ৰ মাজত থাকিব।

@1.41^2 = 1.9881@; @1.42^2 = 2.0164@ গতিকে, @\sqrt{2}@, @1.41@ আৰু @1.42@ ৰ মাজত থাকিব।

@1.414^2 = 1.999396@; @1.415^2 = 2.002225@ গতিকে, @\sqrt{2}@, @1.414@ আৰু @1.415@ ৰ মাজত থাকিব।

@2@ আৰু @1.999396@ ৰ মাজত থাকিব। গতিকে, @\sqrt{2}@, @1.414@ আৰু @1.415@ ৰ মাজত থাকিব।

@\therefore \sqrt{2} \approx 1.41@

2. দুটা অপৰিমেয় সংখ্যা লিখা যাৰ যোগফল পৰিমেয় আৰু পূৰণফল পৰিমেয়।

@\underline{Solution}:@

আমি জানো যে @\sqrt{2}@ এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
সেয়ে দুটা অপৰিমেয় সংখ্যা ধৰা হ’ল @\sqrt{2}@ আৰু @-\sqrt{2}@

এতিয়া সংখ্যা দুটাৰ যোগফল হ’ব @\Rightarrow@ @\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0@, @0@ এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
আৰু পূৰণফল হ’ব @\Rightarrow@ @\sqrt{2} \times (-\sqrt{2}) = -\sqrt{4} =-2@, @-2@ এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

@\therefore@ অপৰিমেয় সংখ্যা দুটা হ’ব @\sqrt{2}@ আৰু @-\sqrt{2}@

3. সংখ্যাৰেখাৰ সহায়ত @-5@ আৰু @5@ ৰ মধ্যৱৰ্তী অখণ্ড সংখ্যাবোৰ লিখা।

@\underline{Solution}:@

@\therefore -5@ আৰু @5@ৰ মাজৰ মধ্যৱৰ্তী অখণ্ড সংখ্যাবোৰ হ’ব @-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3@ আৰু @4@

4. সূচক বিধি @a^m \div a^n = a^{m-n}@ অত @m=n@ লৈ প্ৰমাণ কৰা যে @a^0 = 1@

@\underline{Solution}:@

প্ৰমাণ কৰিব লাগে, @a^0 = 1@

@ \begin{align} & a^m \div a^n = a^{m-n} \\ \Rightarrow \; & a^n \div a^n = a^{n-n} \\ \Rightarrow \; & a^{n-n} = a^0 \\ \Rightarrow \; & a^0 = 1 \end{align} @

5. সূচক বিধি @a^m \div a^n = a^{m-n}@ অত @m=0@ লৈ প্ৰমাণ কৰা @a^{-n} = \frac{1}{a^n}@

@\underline{Solution}:@

প্ৰমাণ কৰিব লাগে, @a^{-n} = \frac{1}{a^n}@

@ \begin{align} & a^m \div a^n = a^{m-n} \\ \Rightarrow \; & a^0 \div a^n = a^{0-n} \\ \Rightarrow \; & a^{-n} = a^0 \div a^n \\ \Rightarrow \; & a^{-n} = 1 \div a^n \\ \Rightarrow \; & a^{-n} = \frac{1}{a^n} \end{align} @

6. তলৰ যোৰৰ প্ৰত্যকৰে মৌলিক উৎপাদক উলিয়াই গ.সা.গু. আৰু ল.সা.গু. থিৰ কৰা।

@(i) \; 321, 396 \quad (ii) \; 455, 42 \quad (iii) \; 408, 170@

@\underline{Solution}:@

@(i) \; 321, 396@

@321 = 3 \times 107@
@396 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11@

@\therefore@ গ.সা.গু. = @3@ আৰু ল.সা.গু. = @2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 11 \times 107 = 42372@

@(ii) \; 455, 42@

@455 = 5 \times 7 \times 13@
@42 = 2 \times 3 \times 7@

@\therefore@ গ.সা.গু. = @7@ আৰু ল.সা.গু. = @2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13 = 2730@

@(iii) \; 408, 170@

@408 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 17@
@170 = 2 \times 5 \times 17@

@\therefore@ গ.সা.গু. = @2 \times 17 = 34@ আৰু ল.সা.গু. = @2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 17 = 2040@

7. @\frac{2}{11}@ আৰু @\frac{1}{6}@ ৰ মাজৰ যিকোনো দুটা পৰিমেয় সংখ্যা লিখা।

@\underline{Solution}:@

@ \frac{2}{11} = \frac{2 \times 6}{11 \times 6} = \frac{12}{66} @
@ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 11}{6 \times 11} = \frac{11}{66} @

এতিয়া, দুয়োটা সমতুল্য ভগ্নাংশৰ হৰ আৰু লবৰ সৈতে @3@ পূৰণ কৰি পাওঁ -

@ \frac{12}{66} = \frac{12 \times 3}{66 \times 3} = \frac{36}{198} @
@ \frac{11}{66} = \frac{11 \times 3}{66 \times 3} = \frac{33}{198} @

@\therefore \frac{2}{11}@ আৰু @\frac{1}{6}@ ৰ মাজৰ দুটা পৰিমেয় সংখ্যা হ’ল -

@ \frac{34}{198},\ \frac{35}{198} @

8. সৰল কৰা : @\sqrt{10} \times \sqrt{5}; \sqrt{2}=1.41@ হ’লে প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ আসন্ন মান কি হ’ব?

@\underline{Solution}:@

@ \sqrt{10} \times \sqrt{5} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} @

@\sqrt{2}=1.41@ হ’লে সংখ্যাটোৰ আসন্ন মান হ’ব

@ 5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.41 = \boxed{7.05} @

9. @\frac{p}{q}@ আৰ্হিৰ ভগ্নাংশত প্ৰকাশ কৰা :

@(i) \; 0.\dot{8}\dot{1}@

ধৰা হ’ল, @ x = 0.818181\ldots \longrightarrow (1) @

@ 100x = 81.818181\ldots \longrightarrow (2) @

এতিয়া @(2)@ ৰ পৰা @(1)@ বিয়োগ কৰি পাঁও -

@ \begin{align} & 100x - x = 81.818181\ldots - 0.818181\ldots \\ \Rightarrow &\; 99x = 81 \\ \Rightarrow &\; x = \frac{\cancel{81}^{9}}{\cancel{99}^{11}} \\ \Rightarrow &\; \boxed{x = \frac{9}{11}} \end{align} @

@(ii) \; 0.1\dot{8}@

ধৰা হ’ল, @x = 0.1888\ldots@

@ 10x = 1.888\ldots \longrightarrow (1)@

@ 100x = 18.888\ldots \longrightarrow (2)@

এতিয়া @(2)@ ৰ পৰা @(1)@ বিয়োগ কৰি পাঁও -

@ \begin{align} & 100x - 10x = 18.888\ldots - 1.888\ldots \\ \Rightarrow &\; 90x = 17 \\ \Rightarrow &\; \boxed{x = \frac{17}{90}} \end{align} @

@(iii) \; 2.4\dot{7}@

ধৰা হ’ল, @x = 2.4777\ldots @

@ 10x = 24.777\ldots \longrightarrow (1)@
@ 100x = 247.777\ldots \longrightarrow (2)@

এতিয়া @(2)@ ৰ পৰা @(1)@ বিয়োগ কৰি পাঁও -

@ \begin{align} & 100x - 10x = 247.777\ldots - 24.777\ldots \\ \Rightarrow &\; 90x = 223 \\ \Rightarrow &\; \boxed{x = \frac{223}{90}} \end{align} @

@(iv) \; 2.44\dot{3}\dot{1}@

ধৰা হ’ল, @x = 2.44313131...@

@ 100x = 244.313131... \longrightarrow (1)@
@ 10000x = 24431.313131... \longrightarrow (2)@

এতিয়া @(2)@ ৰ পৰা @(1)@ বিয়োগ কৰি পাঁও -

@ \begin{align} & 10000x - 100x = 24431.313131... - 244.313131... \\ \Rightarrow \; & 9900x = 24187 \\ \Rightarrow \; & \boxed{x = \frac{24187}{9900}} \end{align} @

10. সৰল কৰা :

@(i) (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2@ @(ii) (2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2\sqrt{3}-\sqrt{5})@ @(iii) (8+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})@ @(iv) \frac{1}{1+\sqrt{2}}@ @(v) \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}@ @(vi) \frac{7+\sqrt{3}}{7-\sqrt{3}}@ @(vii) \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}@ @(viii) \frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}@

@\underline{Solution}:@

@ \begin{align} (i) & \; (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 \\ & \Rightarrow 3 + 2 - 2\sqrt{6} \\ & = \boxed{5 - 2\sqrt{6}} \end{align} @

@ \begin{align} (ii) & \; (2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2\sqrt{3}-\sqrt{5}) \\ & \Rightarrow (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 \\ & \Rightarrow 12 - 5 \\ & = \boxed{7} \end{align} @

@ \begin{align} (iii) & \; (8+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) \\ & \Rightarrow 16 + 8\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3 \\ & = \boxed{19 + 10\sqrt{3}} \end{align} @

@ \begin{align} (iv) & \; \frac{1}{1+\sqrt{2}} \\ & \Rightarrow \frac{1 \times (1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2}) \times (1-\sqrt{2})} \\ & = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} \\ & = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} \\ & = \boxed{\sqrt{2} - 1} \end{align} @

@ \begin{align} (v) & \; \frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \\ & \Rightarrow \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} \\ & = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} \\ & = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} \\ & = \boxed{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \end{align} @

@ \begin{align} (vi) & \; \frac{7+\sqrt{3}}{7-\sqrt{3}} \\ & \Rightarrow \frac{(7+\sqrt{3})(7+\sqrt{3})}{(7-\sqrt{3})(7+\sqrt{3})} \\ & = \frac{49 + 14\sqrt{3} + 3}{49 - 3} \\ & = \frac{52 + 14\sqrt{3}}{46} \\ & = \boxed{\frac{26 + 7\sqrt{3}}{23}} \end{align} @

@ \begin{align} (vii) & \; \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \\ & \Rightarrow (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) \\ & = \cancel{\sqrt{2}}-1 + \cancel{\sqrt{3}}-\cancel{\sqrt{2}} + 2-\cancel{\sqrt{3}} \\ & = \boxed{1} \end{align} @

@ \begin{align} (viii) & \; \frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}} \\ & \Rightarrow \frac{(\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x})(\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x})}{(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x})(\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x})} \\ & = \frac{a+x + a-x - 2\sqrt{a^2-x^2}}{a+x - (a-x)} \\ & = \frac{2a - 2\sqrt{a^2-x^2}}{2x} \\ & = \boxed{\frac{a - \sqrt{a^2-x^2}}{x}} \end{align} @

11. প্ৰমাণ কৰা যে : @\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{5}} = 0@

@\underline{Solution}:@

@ \begin{align} L.H.S. & = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{5}} \\ & \Rightarrow \frac{1 \times (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} + \frac{2 \times (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} + \frac{1 \times (2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} + \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} + \frac{2 + \sqrt{5}}{4 - 5} \\ & = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{3} - (2 + \sqrt{5}) \\ & = \cancel{2} - \cancel{\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{5}} + \cancel{\sqrt{3}} - \cancel{2} - \cancel{\sqrt{5}} \\ & = 0 \\ & = R.H.S. \end{align} @

12. @\sqrt{3} = 1.732@ আৰু @\sqrt{2} = 1.414@ ধৰি তলৰ ৰাশিৰ আসন্ন মান উলিওৱা ।

@(i) \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}@ @(ii) \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}@

@\underline{Solution}:@

@ \begin{align} (i) & \; \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\ & \Rightarrow \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} \\ & = \sqrt{3}+\sqrt{2} \\ & = 1.732 + 1.414 = 3.146 \\ \end{align} @

@ \begin{align} (ii) & \; \frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\ & \Rightarrow \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} \\ & = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \\ & = 2(1.732 - 1.414) = 0.636 \\ \end{align} @

13. হৰণ কাৰ্য নকৰাকৈ তলৰ পৰিমেয় সংখ্যাবোৰক দশমিকত প্ৰকাশ কৰা ।

@(i) \frac{7}{25}@ @(ii) \frac{3}{40}@ @(iii) \frac{3}{100}@ @(iv) \frac{23}{5^2 \times 2^3}@ @(v) \frac{14}{175}@

@\underline{Solution}:@

@(i) \frac{7}{25} = \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} = 0.28 @

@(ii) \frac{3}{40} = \frac{3 \times 25}{40 \times 25} = \frac{75}{1000} = 0.075 @

@(iii) \frac{3}{100} = 0.03 @

@(iv) \frac{23}{5^2 \times 2^3} = \frac{23}{25 \times 8} = \frac{23}{200} = 0.115 @

@(v) \frac{14}{175} = \frac{2}{25} = \frac{8}{100} = 0.08 @

14. তলৰ শতকৰা বোৰক ভগ্নাংশত প্ৰকাশ কৰা ।

@(i) \; 53\% @ @(ii) \; 50\% @ @(iii) \; \frac{1}{2}\% @ @(iv) \; 100\% @ @(v) \; 0.01\% @

@\underline{Solution}:@

@(i) \; 53\% = 53 \times \frac{1}{100} = \frac{53}{100} @

@(ii) \; 50\% = \cancel{50} \times \frac{1}{\cancel{100_2}} = \frac{1}{2} @

@(iii) \; \frac{1}{2}\% = \frac{1}{2} \times \frac{1}{100} = \frac{1}{200} @

@(iv) \; 100\% = \cancel{100} \times \frac{1}{\cancel{100}} = 1 @

@(v) \; 0.01\% = 0.01 \times \frac{1}{100} = \frac{1}{100} \times \frac{1}{100} = \frac{1}{10000} @

15. তলৰ ভগ্নাংশবোৰ শতকৰা ৰূপত লিখা ।

@(i) \; \frac{1}{2} @ @(ii) \; \frac{1}{4} @ @(iii) \; \frac{3}{20} @ @(iv) \; \frac{42}{125} @ @(v) \; 0.25 @ @(vi) \; 1.25 @

@\underline{Solution}:@

@(i) \; \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 100\% = 50\% @

@(ii) \; 50 = 50 \times 100\% = 5000\% @

@(iii) \; \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\% @

@(iv) \; \frac{3}{20} = \frac{3}{20} \times 100\% = 15\% @

@(v) \; \frac{42}{125} = \frac{42}{125} \times 100\% = 33.6\% @

@(vi) \; 0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 25\% @

@(vii) \; 1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4} = 125\% @

16. কোনো এটা বস্তু @10\%@ লাভত বিক্ৰি কৰা হ’ল । তাৰ কিনাদাম আৰু বেচাদামৰ অনুপাত কি ?

@\underline{Solution}:@

ধৰা হ’ল, বস্তুটোৰ কিনাদাম = @100@ টকা

@\therefore@ বস্তুটোৰ বেচাদাম = @100 + 10 = 110@ টকা

@\therefore@ কিনাদাম : বেচাদাম = @100 : 110 = 10 : 11 @

17. @30@ টা কণীৰ কিনাদাম, @20@ টা কণীৰ বেচাদামৰ সমান । লাভৰ শতকৰা হাৰ কি ?

@\underline{Solution}:@

প্ৰশ্নমতে,

@ 30\text{CP} = 20\text{SP} @
@ \therefore\ \frac{\text{CP}}{\text{SP}} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} @

@ \% @ লাভ = @\frac{3-2}{2} \times 100 \% = \frac{1}{2} \times 100 \% = 50\% @

18. এটা বস্তুৰ কিনাদাম @2100@ টকা; @10\%@ লাভত বিক্ৰি হ’লে বস্তটোৰ বেচাদাম কিমান ?

@\underline{Solution}:@

বেচাদাম = @ 2100 + \frac{10}{\cancel{100}} \times \cancel{2100}^{21} = 2100 + 210 = 2310 @ টকা

19. @1@ টকাত @4@ টা নেমু কিনি @20\%@ লাভত বিক্ৰি কৰিলে । এটা নেমুৰ বিক্ৰি মূল্য কিমান হ’ব ?

@\underline{Solution}:@

@4@ টা নেমু কিনাৰ মূল্য = @1@ টকা
@\therefore@ @1@ টা নেমুৰ মূল্য = @\frac{1}{4}@ টকা
@\therefore@ @1@ টা নেমুৰ বিক্ৰি মূল্য = @\frac{1}{4} \times \frac{120}{100} = \frac{3}{10}@ টকা = @0.30@ টকা

20. এটা বস্তু @500@ টকাত বিক্ৰি কৰিলে @5\%@ লোকচান হয়। এইটো কিমান দামত বেচিলে @5\%@ লাভ হ’লহেতেন ?

@\underline{Solution}:@

আমি জানো -

@\text{CP} = (\frac{100}{100-\text{L}}) \times SP @ @\quad@ @[@ য’ত @\text{CP}@ = ক্ৰয় মূল্য, @\text{SP}@ = বিক্ৰিমূল্য আৰু @\text{L}@ = শতকৰা লোকচান @]@

@\therefore CP = 500 \times \frac{100}{100-5} = 500 \times \frac{100}{95} = 526.32 @

নতুন @ SP = 526.32 \times \frac{105}{100} = 552.63 @

অৰ্থাৎ, বস্তুটো @552.63@ টকাত বেচিলে @5\%@ লাভ হ’লহেতেন।

21. গ্ৰাহকক আকৰ্ষণ কৰিবলৈ এজন ব্যৱসায়ীয়ে এটা চাৰ্টৰ দামত ক্ৰমে @10\%@, @10\%@ আৰু @5\%@ ৰেহাই দিয়ে । তিনিওটাৰ সমতুল ৰেহাই কিমান হ’ব ?

@\underline{Solution}:@

ধৰা হ’ল, চাৰ্টটোৰ ছপামূল্য = @x@ টকা

@\therefore@ প্ৰথম ৰেহাই দিয়াৰ পিছত চাৰ্টটোৰ ক্ৰয় মূল্য = @x \times \frac{90}{100} = 0.9x@ টকা

@\therefore@ পুনৰ @10\%@ ৰেহাই দিয়াৰ পিছত চাৰ্টটোৰ ক্ৰয় মূল্য = @0.9x \times \frac{90}{100} = 0.81x@ টকা

@\therefore@ পুনৰ @5\%@ ৰেহাই দিয়াৰ পিছত চাৰ্টটোৰ ক্ৰয় মূল্য = @0.81x \times \frac{95}{100} = 0.7695x@ টকা

@\therefore@ মুঠ ৰেহাইৰ পৰিমাণ = @x - 0.7695x = 0.2305x@ টকা

@\therefore@ তিনিওটাৰ সমতুল ৰেহাই = @\frac{0.2305x}{x} \times 100 = 23.05\% @

অনুশীলনী- R-2

@1@ ৰ পৰা @10@ লৈ প্ৰশ্নকেইটাৰ শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা :

1. এখন বৰ্গাকাৰ খেতিপথাৰৰ কালি @10000@ বৰ্গমিটাৰ হ’লে পথাৰখনৰ পৰিসীমা —

(a) @40@ মিটাৰ
(b) @100@ মিটাৰ
(c) @200@ মিটাৰ
(d) @400@ মিটাৰ

@\text{উ:} 400@ মিটাৰ

2. আয়তাকাৰ চোতাল এখনৰ দীঘ @30@ মিটাৰ আৰু কালি @600@ বৰ্গমিটাৰ হ’লে চোতালখনৰ পৰিসীমা —

(a) @110@ মিটাৰ
(b) @115@ মিটাৰ
(c) @100@ মিটাৰ
(d) @125@ মিটাৰ

@\text{উ:} 100@ মিটাৰ

3. @9@ চে.মি. বাহুবিশিষ্ট বৰ্গৰ সমান কালিৰ এটা আয়তৰ প্ৰস্থ @3@ চে.মি. হ’লে আয়তটোৰ পৰিসীমা —

(a) @56@ চে.মি.
(b) @60@ চে.মি.
(c) @63@ চে.মি.
(d) @65@ চে.মি.

@\text{উ:} 60@ চে.মি.

4. এখন টেবুলৰ ওপৰত থকা ত্ৰিভুজাকৃতিৰ এখন আয়নাৰ দাঁতি আৰু অনুৰূপ উচ্চতাৰ জোখ ক্ৰমে @120@ চে.মি. আৰু @80@ চে.মি. হ’লে ত্ৰিভুজটোৰ কালিৰ জোখ হ’ব —

(a) @4600@ বৰ্গ চে.মি.
(b) @4800@ বৰ্গ চে.মি.
(c) @4850@ বৰ্গ চে.মি.
(d) @4900@ বৰ্গ চে.মি.

@\text{উ:} 4800@ বৰ্গ চে.মি.

5. এটা ত্ৰিভুজৰ কালি আৰু কোনো এটা বাহুৰ জোখ ক্ৰমে @48@ বৰ্গ চে.মি. আৰু @8@ চে.মি. হ’লে, বাহুটোৰ অনুৰূপ উচ্চতাৰ জোখ ক্ৰমে -

(a) @11@ চে.মি.
(b) @12@ চে.মি.
(c) @13@ চে.মি.
(d) @14@ চে.মি.

@\text{উ:} 12@ চে.মি.

6. এটা সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কালি আৰু কোনো ভূমিৰ অনুৰূপ উচ্চতাৰ জোখ যথাক্ৰমে @1256@ বৰ্গ মি.মি. আৰু @31.4@ মি.মি. হ’লে, সেই ভূমিৰ জোখ -

(a) @80@ মি.মি.
(b) @45@ মি.মি.
(c) @50@ মি.মি.
(d) @35@ মি.মি.

@\text{উ:} 80@ মি.মি.

7. @10@ চে.মি. ব্যাসযুক্ত বৃত্তৰ পৰিধিৰ জোখ -

(a) @30.4@ চে.মি.
(b) @30.14@ চে.মি.
(c) @31.4@ চে.মি.
(d) @30.01@ চে.মি.

@\text{উ:} 31.4@ চে.মি.

8. বৃত্তাকাৰ চোতাল এখনৰ পৰিধিৰ জোখ @176@ মি. হ’লে চোতালখনৰ কালি -

(a) @2461@ বৰ্গ মি.
(b) @2744@ বৰ্গ মি.
(c) @2664@ বৰ্গ মি.
(d) @2464@ বৰ্গ মি.

@\text{উ:} 2464@ বৰ্গ মি.

9. এখন বৃত্তাকাৰ পিৰিছৰ কালি @38.5@ বৰ্গ চে.মি. হ’লে পিৰিছখনৰ ব্যাস -

(a) @5@ চে.মি.
(b) @6@ চে.মি.
(c) @7@ চে.মি.
(d) @8@ চে.মি.

@\text{উ:} 7@ চে.মি.

10. এখন কাঁহীৰ কালি @616@ বৰ্গ চে.মি. হ’লে, কাঁহীখনৰ পৰিসীমা -

(a) @88@ চে.মি.
(b) @89@ চে.মি.
(c) @88@ চে.মি.
(d) @90@ চে.মি.

@\text{উ:} 88@ চে.মি.

11. এটা আয়তৰ পৰিসীমা @120@ চে.মি. আৰু দীঘ @40@ চে.মি. হ’লে, আয়তটোৰ কালি উলিওৱা -

@\underline{Solution:}@

দিয়া আছে,
আয়তৰ পৰিসীমা = @120@ চে.মি. আয়তৰ দীঘ = @40@ চে.মি.

@\therefore@ আয়তটোৰ প্ৰস্থ = @\frac{\cancel{120}^60}{\cancel{2}} - 40@ চে.মি. @= 60 - 40@ চে.মি. @= 20@ চে.মি.

@\therefore@ আয়তটোৰ কালি = @40 \times 20@ বৰ্গ চে.মি. @= 800@ বৰ্গ চে.মি.

12. কোঠা এটাৰ এখন বেৰৰ জোখ @4.5@ মিটাৰ @\times 3.6@ মিটাৰ আৰু @2@ মি. @\times 1@ মি. জোখৰ দুৱাৰৰ বাবে বেৰখনৰ কিছু ঠাই এৰি থোৱা আছে। ৰং লগাবৰ বাবে বেৰখনৰ কালিৰ জোখ উলিওৱা।

@\underline{Solution:}@

বেৰখনৰ কালি @ = 4.5 \times 3.6 = 16.2 @ বৰ্গ মিটাৰ

দুৱাৰৰ কালি @ = 2 \times 1 = 2 @ বৰ্গ মিটাৰ

ৰং লগাবৰ বাবে এৰি থোৱা বেৰখনৰ কালি @ = 16.2 - 2 = 14.2 @ বৰ্গ মিটাৰ

13. এডাল তাঁৰেৰে @10@ চে.মি. বাহুবিশিষ্ট বৰ্গ এটি বনোৱা হ’ল । যদি তাঁৰডালেৰে এটা আয়ত বনোৱা হয় যাৰ দীঘ 12 চে.মি., তেন্তে আয়তটোৰ প্ৰস্থ কিমান? কোনটো ক্ষেত্ৰৰ কালি অধিক ? বৰ্গৰ নে আয়তৰ?

@\underline{Solution:}@

@\therefore@ দুয়োটা ক্ষেত্ৰৰ একে জোখৰ তাৰেৰে বনোৱা হৈছে, সেয়েহে দুয়োটা ক্ষেত্ৰৰে পৰিসীমা সমান।

@ \begin{align*} \therefore & 4 \times 10 & = 2(12 + x) \\ & 40 & = 24 + 2x \\ & 2x & = 40 - 24 \\ & 2x & = 16 \\ & x & = \frac{16}{2} = 8 \\ \end{align*} @

@\therefore@ বৰ্গৰ কালি = @10 \times 10 = 100@ বৰ্গ চে.মি. আৰু আয়তৰ কালি = @12 \times 8 = 96@ বৰ্গ চে.মি.

@\therefore@ বৰ্গৰ কালি অধিক।

14. কাষৰ চিত্ৰত @\text{ABCD}@ এটা সামান্তৰিক । @\text{AB}@ আৰু @\text{BC}@ ৰ জোখ ক্ৰমে @6@ চে.মি. আৰু @4@ চে.মি.। @\text{AD}@ ভূমি সাপেক্ষে উচ্চতা @\text{BF}@ ৰ জোখ @4.9@ চে.মি. হ’লে @\text{AB}@ ভূমি সাপেক্ষে উচ্চতা @\text{DE}@ ৰ জোখ উলিওৱা ।

@\underline{Solution:}@

@\text{BC}@ ভূমি আৰু @\text{BF}@ উচ্চতা সাপেক্ষে সামান্তৰিকটোৰ কালি @ = BC \times BF @

@ = 4 \times 4.9 = 19.6 @ বৰ্গ চে.মি.

@\therefore 6 \times DE = 19.6 @ @\quad[@একে সামান্তৰিকৰ কালি@]@

@ \therefore DE = \frac{19.6}{6} = 3.27 @ চে.মি. (প্ৰায়)

15. @\triangle ABC@ ৰ কালি @30@ বৰ্গ চে.মি. আৰু @\text{BC}@ ভূমি সাপেক্ষে উচ্চতা @\text{AD}@ ৰ জোখ @10@ চে.মি. হলে, @\text{BC}@ ৰ জোখ উলিওৱা ।

@\underline{Solution:}@

দিয়া আছে,

@\triangle ABC@ ৰ কালি @= 30@ বৰ্গ চে:মি:

আৰু উচ্চতা @AD = 10@ চে:মি:

এতিয়া,

@\frac{1}{2} \times AD \times BC =@ কালি @(\triangle ABC)@

@\frac{1}{2} \times 10 \times BC = 30@

@5 \times BC = 30@

@BC = \frac{30}{5}@

@BC = 6@ চে:মি:

@\therefore \triangle ABC@ ৰ ভূমি @BC = 6@ চে:মি:

16. @\triangle PQR@ ৰ @QR@ আৰু @PR@ ৰ জোখ ক্ৰমে @4@ চে:মি: আৰু @8@ চে:মি:। @QR@ ভূমি সাপেক্ষে উচ্চতা @PL@ ৰ জোখ @5@ চে:মি: হ’লে, @PR@ ভূমি সাপেক্ষে উচ্চতা @QM@ ৰ জোখ উলিওৱা ।

@\underline{Solution:}@

প্ৰশ্নমতে,

@\triangle PQR@ ৰ @QR = 4@ চে:মি: @PR = 8@ চে:মি: @PL = 5@ চে:মি:

@QR@ ভূমি আৰু @PL@ উচ্চতা সাপেক্ষে, @\triangle PQR@ ৰ কালি

@ \begin{align} \triangle PQR \text{ ৰ কালি } & = \frac{1}{2} \times QR \times PL \\ & = \frac{1}{\cancel{2}} \times \cancel{4}^2 \times 5 \\ & = 10\;cm^2 \end{align} @

এতিয়া

@ \begin{align} & \Rightarrow \frac{1}{2} \times PR \times QM = \triangle PQR \text{ ৰ কালি } \\ & \Rightarrow \frac{1}{\cancel{2}} \times \cancel{8}^4 \times QM = 10 \\ & \Rightarrow 4 \times QM = 10 \\ & \Rightarrow QM = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5\;cm \end{align} @

@\therefore QM = 2.5\;cm@

17. @\triangle{ABC}@ ৰ @BC@ ভূমি সাপেক্ষে উচ্চতা @AD@ ৰ জোখ @4@ চে:মি:। @P@, @BC@ ৰ এটা বিন্দু যাতে @BP = 3@ চে:মি: আৰু @\triangle{ABP}@ ৰ কালি = @\triangle{APC}@ ৰ কালি। @PC@ ৰ জোখ উলিওৱা ।

@\underline{Solution}:@

দিয়া আছে -

@BP = 3 \text{চে:মি:}, AD = 4 \text{চে:মি:}@

আৰু @\triangle ABP@ ৰ কালি = @\triangle APC@ ৰ কালি

@ \begin{align} & \Rightarrow \frac{1}{2} \times BP \times AD = \frac{1}{2} \times PC \times AD \\ & \Rightarrow \frac{1}{\cancel{2}} \times 3 \times \cancel{4}^2 = \frac{1}{\cancel{2}} \times PC \times \cancel{4}^2 \\ & \Rightarrow 6 = 2PC \\ & \Rightarrow PC = 3 \end{align} @

@\therefore PC = 3@ চে:মি:

18. এখন অৰ্দ্ধবৃত্তাকাৰ বাগিচাৰ ব্যাসাৰ্দ্ধৰ জোখ @10@ মি: হ’লে, বাগিচাখনৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।

@\underline{Solution}:@

দিয়া আছে,

অৰ্দ্ধবৃত্তাকাৰ বাগিচাখনৰ ব্যাসাৰ্দ্ধৰ জোখ @r = 10@ মি:

@ \begin{align} \text{বাগিচাখনৰ কালি} & = \frac{1}{2} \pi r^2 \\ & = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 10^2 \\ & = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 100 \\ & = \frac{314}{2} \\ & = 157\;\text{বৰ্গ:মি:} \end{align} @

19. @4@ চে:মি: ব্যাসার্ধৰ এটা বৃত্তাকাৰ কাঠৰ টুকুৰাৰ পৰা @3@ চে:মি: ব্যাসার্ধৰ বৃত্ত এটা কাটি পেলোৱা হ’ল। টুকুৰাটোৰ অৱশিষ্ট অংশৰ কালি উলিওৱা ।

@\underline{Solution}:@

বহি:বৃত্তটোৰ কালি = @\pi r^2 = 3.14 \times 4^2 = 50.24@ বৰ্গ:চে:মি:

ভিতৰৰ:বৃত্তটোৰ কালি = @\pi r^2 = 3.14 \times 3^2 = 28.26@ বৰ্গ:চে:মি:

@ \begin{align} \text{অৱশিষ্ট অংশৰ কালি} & = 50.24 - 28.26 \\ & = 21.98\;\text{ বৰ্গ:চে:মি:} \end{align} @

20. @44@ চে:মি: দৈৰ্ঘ্যৰ তাঁৰ এডালৰ পৰা এটা বৃত্তাকাৰ আকৃতি পোৱা গ’ল । বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ কিমান ?

@\underline{Solution}:@

দিয়া আছে,

তাঁৰডালৰ দৈৰ্ঘ্য = @44@ চে:মি:
@\therefore@ এই তাঁৰেৰে বনোৱা বৃত্তটোৰ পৰিধি = @44@ চে:মি:

অৰ্থাৎ,

@ \begin{align} & \Rightarrow 2 \pi r = 44 \\ & \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r = 44 \\ & \Rightarrow \frac{44}{7} \times r = 44 \\ & \Rightarrow r = \frac{44 \times 7}{44} \\ & \Rightarrow r = \frac{7}{\cancel{44}^1} \times \cancel{44}^1 \\ & \Rightarrow r = 7 \end{align} @

@\therefore@ বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ = @7@ চে:মি:

21. ঘড়ী এটাৰ মিনিটৰ কাঁটা ডালৰ দৈৰ্ঘ্য @20@ মিলিমিটাৰ । আধাঘণ্টাত মিনিটৰ কাঁটা ডালৰ আগটোৱে কিমান দূৰ অতিক্ৰম কৰিব ?

@\underline{Solution}:@

দিয়া আছে, ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাঁটা ডালৰ দৈৰ্ঘ্য অৰ্থাৎ বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ @r = 20@ মিলিমিটাৰ

আমি জানো, ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাঁটা ডালৰ আগটোৱে @1@ ঘণ্টাত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = বৃত্তটোৰ পৰিধি
@\therefore@ আধাঘণ্টাত মিনিটৰ কাঁটা ডালৰ আগটোৱে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = বৃত্তটোৰ পৰিধিৰ আধা ।

অৰ্থাৎ,

@ \begin{align} \text{মিনিটৰ কাঁটা ডালৰ আগটোৱে আধাঘণ্টাত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব} & = \pi r \\ & = \frac{22}{7} \times 20 \\ & = \frac{22 \times 20}{7} \\ & = \frac{440}{7} \\ & = 62.85714285714286 \\ & \approx 62.86 \text{ মিলিমিটাৰ} \end{align} @

22. @100@ মিটাৰ বাহুবিশিষ্ট বৰ্গাকাৰ উদ্যান এখনৰ ভিতৰফালে চৌহদৰ কাষে কাষে @5@ মিটাৰ বহল এটা ৰাস্তা ৰখা আছে । ৰাস্তাটোৰ কালি উলিওৱা ।

@\underline{Solution}:@

@ \begin{align} \text{বৰ্গাকাৰ উদ্যানখনৰ কালি} & = 100 \times 100\\ & = 10000\text{ বৰ্গ:মিটাৰ} \end{align} @

@ \begin{align} \text{ৰাস্তাটো বাদ দি উদ্যানখনৰ বাকী অংশৰ কালি} & = 90 \times 90\\ & = 8100\text{ বৰ্গ:মিটাৰ} \end{align} @

@ \begin{align} \text{ৰাস্তাটোৰ কালি} & = 10000 - 8100\\ & = 1900\text{ বৰ্গ:মিটাৰ} \end{align} @

23. @180@ মিটাৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু @120@ মিটাৰ প্রস্থৰ আয়তাকাৰ পথাৰ এখনৰ সীমাৰ বাহিৰেৰে @6@ মিটাৰ প্ৰস্থৰ এটা ৰাস্তা আছে। ৰাস্তাটোৰ কালি উলিওৱা ।

@\underline{Solution}:@

ৰাস্তাৰ সৈতে পথাৰখনৰ মুঠ কালি = @192 \times 132 = 25344@ বৰ্গ:মিটাৰ

পথাৰখনৰ মুঠ কালি = @180 \times 120 = 21600@ বৰ্গ:মিটাৰ

@\therefore@ ৰাস্তাটোৰ কালি = @25344 - 21600 = 3744@ বৰ্গ:মিটাৰ

24. তলৰ চিত্ৰত ছাঁ দিয়া অংশৰ কালি উলিওৱা ।

@\underline{Solution}:@

চিত্ৰ অনুসৰি -

@ \begin{align*} \text{ABCD ৰ কালি} & = 7 \; \text{চে:মি:} \times 3 \; \text{চে:মি:} \\ & = 21 \; \text{বৰ্গ: চে:মি:} \end{align*} @

@ \begin{align*} \text{দুয়োটা ত্ৰিভুজৰ কালি} & = (\frac{1}{\cancel{2}} \times \cancel{2}^1 \times 3) + (\frac{1}{\cancel{2}} \times 3 \times \cancel{4}^2) \\ & = 3 + 6 \\ & = 9 \; \text{বৰ্গ: চে:মি:} \end{align*} @

@\therefore \text{ছাঁ দিয়া অংশৰ কালি} = 21 - 9 = 12 \; \text{বৰ্গ: চে:মি:}@

25. তলৰ চতুৰ্ভুজটোৰ কালি উলিওৱা ।

@\underline{Solution}:@

চিত্ৰ অনুসৰি,

@ \begin{align*} \text{চতুৰ্ভুজটোৰ কালি} &= \text{চাৰিওটা ত্ৰিভুজৰ কালিৰ সমষ্টি}\\ &= (\frac{1}{2} \times 3.6 \times \sqrt{4^2 - 3.6^2}) + (\frac{1}{2} \times 3.6 \times \sqrt{5^2 - 3.6^2}) + (\frac{1}{2} \times 0.7 \times \sqrt{4^2 - 0.7^2}) + (\frac{1}{2} \times 0.7 \times \sqrt{1^2 - 0.7^2})\\ &= (\frac{1}{2} \times 3.6 \times \sqrt{16 - 12.96}) + (\frac{1}{2} \times 3.6 \times \sqrt{25 - 12.96}) + (\frac{1}{2} \times 0.7 \times \sqrt{16 - 0.49}) + (\frac{1}{2} \times 0.7 \times \sqrt{1 - 0.49})\\ &= (\frac{1}{2} \times 3.6 \times \sqrt{3.04}) + (\frac{1}{2} \times 3.6 \times \sqrt{12.04}) + (\frac{1}{2} \times 0.7 \times \sqrt{15.51}) + (\frac{1}{2} \times 0.7 \times \sqrt{0.51})\\ &= (\frac{1}{2} \times 3.6 \times 1.74) + (\frac{1}{2} \times 3.6 \times 3.47) + (\frac{1}{2} \times 0.7 \times 3.94) + (\frac{1}{2} \times 0.7 \times 0.72)\\ &= (1.74 \times 1.8) + (3.47 \times 1.8) + (0.7 \times 1.97) + (0.7 \times 0.72)\\ &= 3.132 + 6.246 + 1.379 + 0.504\\ &= 11.261 \end{align*} @

Share this post:

Twitter Facebook LinkedIn Reddit